1 Umstellen von Gleichungen

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1.1 Theorie

In diesem Abschnitt geht es um das Umstellen und Zusammenfassen von gebrochen-rationalen Termen der Form $a\cdot \frac{x}{b}=c$, die nach einer Variable, z.B. nach $x$ umgestellt werden sollen. Dazu benötigen Sie folgende Grundkenntnisse zur Bruchrechnung:

• Addition bzw. Subtraktion gleichnamiger Brüche:

  ${\displaystyle \frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}}$

• Addition bzw. Subtraktion ungleichnamiger Brüche, indem man diese gleichnamig macht:

  ${\displaystyle \frac{a}{c}\pm \frac{b}{d}=\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{c\cdot d}}$

  Tipp: Brüche werden gleichnamig gemacht, indem die Brüche erweitert werden. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner.

• Multiplikation von Brüchen:

  ${\displaystyle \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{d}=\frac{a\cdot b}{c\cdot d}}$

• Division von Brüchen:

  ${\displaystyle \frac{a}{c}:\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\cdot \frac{d}{b}=\frac{a\cdot d}{c\cdot b}}$

  Tipp: Brüche können dividiert werden, indem man den einen Bruch mit dem Kehrwert des anderen Bruchs multipliziert.

Im gesamten Material setzen wir voraus, dass Ausdrücke in einem Nenner jeweils verschieden von Null sind. Die Division durch 0 wird nicht gesondert ausgeschlossen.

Die folgenden Videos sollen die theoretischen Erläuterungen unterstützen:

Bruchrechnung 1	Umstellen von Gleichungen
Diese Videos sind Bestandteil des Moodle-Projekts innerhalb der HTW Berlin.

1.2 Beispiele

Beispiel 1.2.1

Stellen Sie folgende Gleichung nach $f$ um!

${\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}}$

Lösung: Addieren Sie zuerst die Brüche der rechten Seite durch Bildung eines Hauptnenners:

${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{1}{f}& =& \frac{1}{g}\cdot \frac{b}{b}+\frac{1}{b}\cdot \frac{g}{g}\\ & =& \frac{b}{b\cdot g}+\frac{g}{b\cdot g}\\ \frac{1}{f}& =& \frac{b+g}{b·g}\\ 1& =& \frac{b+g}{b·g}\cdot f\\ \frac{b·g}{b+g}& =& f\end{array}}$

Beispiel 1.2.2

Stellen Sie folgende Gleichung nach $\mu$ um!

${\displaystyle F_{\text{L}}=\frac{1-4\frac{H}{D}\mu }{1+4\frac{h}{d}\mu }\cdot F_{\text{k}}\cdot {\left(\frac{D}{d}\right)}^2}$

Lösung: Beachten Sie, dass $\mu$ an zwei Stellen vorkommt. Um nach $\mu$ umstellen zu können, darf $\mu$ nur einmal in der Gleichung stehen.

Zuerst wird der Nenner durch multiplizieren mit $1+4\frac{h}{d}\mu$ beseitigt:

${\displaystyle F_{\text{L}}\cdot (1+4\frac{h}{d}\mu )=(1-4\frac{H}{D}\mu )\cdot F_{\text{k}}\cdot \frac{D^2}{d^2}}$

Anschließend folgt das Ausmultiplizieren der Gleichung:

${\displaystyle F_{\text{L}}+4F_{\text{L}}\frac{h}{d}\mu =F_{\text{k}}\frac{D^2}{d^2}-4\frac{H}{D}\mu F_{\text{k}}\frac{D^2}{d^2}}$

Es bietet sich an, bereits zu kürzen und zu vereinfachen, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen:

${\displaystyle F_{\text{L}}+\frac{4F_{\text{L}}h\mu }{d}=\frac{F_{\text{k}}{D}^2}{d^2}-\frac{4H\mu F_{\text{k}}D}{d^2}}$

Zur weiteren Vereinfachung werden alle Terme, die $\mu$ enthalten, auf eine Seite der Gleichung gebracht, alle anderen Terme auf die andere Seite. Ziel ist es, $\mu$ auszuklammern:

${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{4F_{\text{L}}h\mu }{d}+\frac{4H\mu F_{\text{k}}D}{d^2}& =& \frac{F_{\text{k}}{D}^2}{d^2}-F_{\text{L}}\\ \mu \cdot (\frac{4F_{\text{L}}h}{d}+\frac{4H{F}_{\text{k}}D}{d^2})& =& \frac{F_{\text{k}}{D}^2}{d^2}-F_{\text{L}}\\ \mu \cdot \left(\frac{4F_{\text{L}}hd+4H{F}_{\text{k}}D}{d^2}\right)& =& \frac{F_{\text{k}}{D}^2-F_{\text{L}}{d}^2}{d^2}\\ \mu =\frac{\frac{F_{\text{k}}{D}^2-F_{\text{L}}{d}^2}{d^2}}{\frac{4F_{\text{L}}hd+4H{F}_{\text{k}}D}{d^2}}& =& \frac{(F_{\text{k}}{D}^2-F_{\text{L}}{d}^2)\cdot d^2}{d^2\cdot (4F_{\text{L}}hd+4H{F}_{\text{k}}D)}\\ \mu & =& \frac{F_{\text{k}}{D}^2-F_{\text{L}}{d}^2}{4(F_{\text{L}}hd+F_{\text{k}}HD)}\end{array}}$

Tipp: In der Technik werden Doppelbrüche in der Regel beseitigt.

 

Die folgenden Pencasts erläutern ausführlich zwei weitere Beispiele:

1.3 Übungen

Die Lösungen zu den hier gestellten Aufgaben finden Sie im Kapitel "Hinweise und Lösungen zu den Übungen". Zu jeder Übung wird eine Bearbeitungszeit vorgegeben.

Übung 1.3.1

Stellen Sie bitte nach $\mu$ um!

${\displaystyle P_{\text{Ü}}=\frac{F}{d\pi (\frac{d}{4}+\mu h)}}$ Bearbeitungszeit: 4 Minuten

Übung 1.3.2

Vereinfachen Sie bitte folgenden Doppelbruch:

${\displaystyle i_1=\frac{\frac{u_1}{R+\frac{1}{j\omega C}}}{R+\frac{1}{j\omega C}}}$ Bearbeitungszeit: 8 Minuten

Übung 1.3.3

Stellen Sie folgende Gleichung nach $x$ um:

${\displaystyle \frac{x}{{\varrho }_{\text{Ag}}}+\frac{10-x}{{\varrho }_{\text{Sx}}}=\frac{10}{{\varrho }_0}}$ Bearbeitungszeit: 6 Minuten

Übung 1.3.4

Stellen Sie folgende Gleichung nach $R_1$ um:

${\displaystyle U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}{U}_1-\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}{I}_2}$

Bearbeitungszeit: 10 Minuten

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