5 Mengenlehre

5.1 Theorie

Die Mengenlehre ist ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Sprache, um z.B. Resultate formulieren zu können. Es ist wichtig, Grundbegriffe und Schreibweisen der Mengenlehre zu kennen. Den Mengenbegriff setzen wir als bekannt voraus.

Allgemeine Schreibweise von Mengen

Mengenname={ $x |$ Eigenschaft von $x$ }

Diese Menge enhält also alle Elemente $x$ , die die angegebene Eigenschaft erfüllen.
Element einer Menge

$x \in 𝕄$

Hier wird die einheitliche Schreibweise deutlich: $x$ ist Element der Menge $𝕄$ . Üblich ist auch die Darstellung im Venn-Diagramm:

Die leere Menge, die kein Element enthält, wird symbolisiert durch $\emptyset$ oder { }.

Unter den Eigenschaften einer Menge kann auch die Grundmenge, aus der 𝑥 stammt, genannt werden.
Zum Beispiel: $M = {x | x \in ℝ, x \geq 1}$ Die Menge 𝑀 enthält also alle reellen Zahlen größer oder gleich 1, d.h. alle reellen Zahlen im Intervall [1,∞[. Wir betrachten hier nur Mengen im Bereich der reellen Zahlen.

Wie werden Mengen notiert bzw. dargestellt?

Aufzählend:

Mengenname = { Element1, …, Elementn }
Intervallschreibweise:

Mengenname = [ $a, b$ ]

Diese Menge beinhaltet alle Elemente zwischen $a$ und $b$ inklusive der Grenzen $a$ und $b$ . Sind die Grenzen nicht Teil der Menge (offenes Intervall), zeigen die Klammern nach außen oder es werden runde Klammern gesetzt:

Mengenname = ] $a, b$ ] = ( $a, b$ ]

Diese Menge beinhaltet alle Element ab $a$ bis einschließlich $b$ .

Besonders wichtig sind die möglichen Verknüpfungen von zwei Mengen:

Durchschnitt der Mengen $𝕄$ und $ℕ$ (Schnittmenge):

$𝕄 \cap$ $ℕ$ ist definiert durch die Menge{ $x | x \in 𝕄 \land x \in ℕ$ }

Der Durchschnitt zweier Mengen ist also diejenige Teilmenge, die die Elemente enthält, die in beiden Mengen enthalten sind.
Vereinigung:

$𝕄 \cup ℕ$ ist definiert durch die Menge{ $x | x \in 𝕄 \lor x \in ℕ$ }

Die Vereinigung von zwei Mengen ist wieder eine Menge, die alle Elemente aus $𝕄$ und alle Elemente aus $ℕ$ enthält.
Differenzmenge:

$𝕄 \ ℕ$ ist definiert durch die Menge{ $x | x \in 𝕄 \land x \notin ℕ$ }

Die Differenzmenge von $𝕄$ und $ℕ$ enthält alle Elemente aus $𝕄$ , die nicht in $ℕ$ enthalten sind.

Die folgenden Videos sollen die theoretischen Erläuterungen unterstützen:

Mengenlehre	Mengen Übung 1	Mengen Übung 2

Diese Videos sind Bestandteil des Moodle-Projekts innerhalb der HTW Berlin.

letztes Kapitel: Polynomdivision

nächstes Kapitel: Funktionen

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