13 Hinweise und Lösungen zu den Übungen

In diesem Kapitel sind alle Lösungen der Übungen zu finden. Sollten Sie weitere Fragen haben, bin ich über Skype unter dem Kontakt "Joachim.Siegert2" zu finden.

13.1 Umstellen von Gleichungen

Übung 1.3.1

Stellen Sie bitte nach

μ

um!

P_{Ü} = \frac{F}{d π (\frac{d}{4} + μ h)}

Tipp 1

Um leichter nach

μ

umstellen zu können, empfiehlt es sich, die Gleichung so umzuformen, dass

μ

im Zähler steht:

P_{Ü} \cdot (\frac{d}{4} + μ h) = \frac{F}{d π}

Tipp 2

Bringen Sie alle Terme, in denen

μ

nicht vorkommt, auf die andere Seite der Gleichung:

\begin{array}{rcl} \frac{d}{4} + μ h & = & \frac{F}{d π P_{Ü}} \\ μ h & = & \frac{F}{d π P_{Ü}} - \frac{d}{4} \end{array}

Tipp 3

Es ist immer ratsam, die Terme so weit wie möglich zu vereinfachen (in diesem Fall durch Bilden des Hauptnenners). Schließlich muss noch durch

h

dividiert werden:

\begin{array}{rcl} μ h & = & \frac{F}{d π P_{Ü}} \cdot \frac{4}{4} - \frac{d}{4} \cdot \frac{d π P_{Ü}}{d π P_{Ü}} \\ = & \frac{4 F - d^{2} π P_{Ü}}{4 d π P_{Ü}} \\ μ & = & \frac{4 F - d^{2} π P_{Ü}}{4 d π P_{Ü} h} \end{array}

Lösung

μ = \frac{4 F - d^{2} π P_{Ü}}{4 d π P_{Ü} h}

Übung 1.3.2

Vereinfachen Sie bitte folgenden Doppelbruch:

i_{1} = \frac{\frac{u_{1}}{R + \frac{1}{j ω C}}}{R + \frac{1}{j ω C}}

Tipp 1

Formen Sie die Summen in den Nennern zu Produkten um, indem Sie die jeweils

R

mit

j ω C

erweitern:

\begin{array}{rcl} i_{1} & = & \frac{\frac{u_{1}}{R \cdot \frac{j ω C}{j ω C} + \frac{1}{j ω C}}}{R \cdot \frac{j ω C}{j ω C} + \frac{1}{j ω C}} \\ = & \frac{\frac{u_{1}}{\frac{R \cdot j ω C + 1}{j ω C}}}{\frac{R \cdot j ω C + 1}{j ω C}} \end{array}

Tipp 2

Vereinfachen lässt sich dieser Ausdruck, indem man den Doppelbruch im Zähler eliminiert durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners (siehe Division von Brüchen im Theorieteil):

i_{1} = \frac{\frac{u_{1} j ω C}{R \cdot j ω C + 1}}{\frac{R \cdot j ω C + 1}{j ω C}}

Tipp 3

Beseitigen Sie nun den letzten Doppelbruch und fassen Sie schließlich das Ergebnis zusammen:

\begin{array}{rcl} i_{1} & = & \frac{u_{1} j ω C \cdot j ω C}{(R \cdot j ω C + 1) (R \cdot j ω C + 1)} \\ = & \frac{u_{1} {(j ω C)}^{2}}{{(R \cdot j ω C + 1)}^{2}} \end{array}

Lösung

i_{1} = \frac{u_{1} {(j ω C)}^{2}}{{(R \cdot j ω C + 1)}^{2}}

Übung 1.3.3

Stellen Sie folgende Gleichung nach

x

um:

\frac{x}{ϱ_{Ag}} + \frac{10 - x}{ϱ_{Sx}} = \frac{10}{ϱ_{0}}

Tipp 1

\begin{array}{rcl} \frac{x}{ϱ_{Ag}} + \frac{10}{ϱ_{Sx}} - \frac{x}{ϱ_{Sx}} & = & \frac{10}{ϱ_{0}} \\ \frac{x}{ϱ_{Ag}} - \frac{x}{ϱ_{Sx}} & = & \frac{10}{ϱ_{0}} - \frac{10}{ϱ_{Sx}} \end{array}

Tipp 2

Klammern Sie nun

x

aus, damit

x

nur noch an einer Stelle in der Gleichung steht:

x (\frac{1}{ϱ_{Ag}} - \frac{1}{ϱ_{Sx}}) = \frac{10}{ϱ_{0}} - \frac{10}{ϱ_{Sx}}

Tipp 3

Nun müssen Sie nur noch durch den Term dividieren, der als Faktor vor

x

auftritt und anschließend die Doppelbrüche beseitigen:

x = 10 (\frac{1}{ϱ_{0}} - \frac{1}{ϱ_{Sx}}) \cdot \frac{1}{\frac{1}{ϱ_{Ag}} - \frac{1}{ϱ_{Sx}}}

x = 10 \frac{ϱ_{s_{x}} - ϱ_{0}}{ϱ_{0} \cdot ϱ_{s_{x}}} \cdot \frac{1}{\frac{ϱ_{s_{x}} - ϱ_{A_{g}}}{ϱ_{A_{g}} \cdot ϱ_{s_{x}}}}

x = 10 \frac{ϱ_{s_{x}} - ϱ_{0}}{ϱ_{0} \cdot ϱ_{s_{x}}} \cdot \frac{ϱ_{A_{g}} \cdot ϱ_{s_{x}}}{ϱ_{s_{x}} - ϱ_{A_{g}}}

Lösung

x = 10 \frac{{ϱ_{A}}_{g} (ϱ_{s_{x}} - ϱ_{0})}{ϱ_{0} (ϱ_{s_{x}} - ϱ_{A g})}

Übung 1.3.4

Stellen Sie folgende Gleichung nach

R_{1}

um:

U_{2} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} U_{1} - \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} I_{2}

Tipp 1

Wieder sollte die Gleichung so umgestellt werden, dass

R_{1}

nur an einer Stelle in der Gleichung steht. Dazu sollten Sie zunächst die Brüche beseitigen:

\begin{array}{rcl} U_{2} & = & \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} U_{1} - \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} I_{2} \\ U_{2} (R_{1} + R_{2}) & = & R_{2} U_{1} - R_{1} R_{2} I_{2} \\ U_{2} R_{1} + U_{2} R_{2} & = & R_{2} U_{1} - R_{1} R_{2} I_{2} \end{array}

Tipp 2

Sortieren Sie nun die Gleichung, indem Sie alle Terme mit

R_{1}

auf eine Seite bringen:

U_{2} R_{1} + R_{1} R_{2} I_{2} = R_{2} U_{1} - U_{2} R_{2}

Tipp 3

Klammern Sie anschließend

R_{1}

sowie

R_{2}

aus:

R_{1} (U_{2} + R_{2} I_{2}) = R_{2} (U_{1} - U_{2})

Tipp 4

Die Gleichung kann nun leicht umgestellt und vereinfacht werden:

R_{1} = \frac{R_{2} (U_{1} - U_{2})}{U_{2} + R_{2} I_{2}}

Lösung

R_{1} = \frac{U_{1} - U_{2}}{\frac{U_{2}}{R_{2}} + I_{2}}

13.2 Potenzen und Wurzeln

Übung 2.3.1

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

{(\frac{a^{- 4} b^{- 5}}{x^{- 1} y^{3}})}^{2} \cdot {(\frac{a^{- 2} x}{b^{3} y^{2}})}^{- 3}

Tipp 1

Wenden Sie das Gesetz über die Division bzw. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten an. Dann ergibt sich folgender Ausdruck:

\begin{array}{rcl} \frac{{(a^{- 4} b^{- 5})}^{2}}{{(x^{- 1} y^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(a^{- 2} x)}^{- 3}}{{(b^{3} y^{2})}^{- 3}} \\ = & \frac{{(a^{- 4})}^{2} \cdot {(b^{- 5})}^{2}}{{(x^{- 1})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(a^{- 2})}^{- 3} \cdot x^{- 3}}{{(b^{3})}^{- 3} \cdot {(y^{2})}^{- 3}} \end{array}

Tipp 2

Nun kann das Gesetz über das Potenzieren von Potenzen verwendet werden, um den Ausdruck später zu vereinfachen:

\frac{a^{- 8} b^{- 10}}{x^{- 2} y^{6}} \cdot \frac{a^{6} x^{- 3}}{b^{- 9} y^{- 6}}

Tipp 3

Die Terme können nun leicht multipliziert werden

\frac{a^{- 8} b^{- 10} a^{6} x^{- 3}}{x^{- 2} y^{6} b^{- 9} y^{- 6}}

Tipp 4

Wenn nötig sollte der Bruch nun wieder sortiert werden, um anschließend die Gesetze für Potenzen mit gleicher Basis anzuwenden:

\begin{array}{rcl} \frac{a^{- 8} a^{6} b^{- 10} x^{- 3}}{b^{- 9} x^{- 2} y^{6} y^{- 6}} \\ = & a^{- 8 + 6} \cdot b^{- 10 - (- 9)} \cdot x^{- 3 - (- 2)} \cdot y^{- 6 - (- 6)} \\ = & a^{- 2} \cdot b^{- 1} \cdot x^{- 1} \cdot 1 \end{array}

Lösung

\frac{1}{a^{2} b \cdot x}

Übung 2.3.2

Vereinfachen Sie bitte folgenden Ausdruck:

Tipp 1

Schreiben Sie die Wurzeln als Exponenten um:

{(v \cdot w^{3})}^{\frac{1}{6}} \cdot {(n^{5} v^{8} w^{- 2})}^{\frac{1}{4}} \cdot {(n \cdot v^{3})}^{\frac{1}{2}}

Tipp 2

Da die Wurzeln gleiche Exponenten für verschiedene Basen sind, kann der Ausdruck umgeformt werden zu:

{(v^{1})}^{\frac{1}{6}} \cdot {(w^{3})}^{\frac{1}{6}} \cdot {(n^{5})}^{\frac{1}{4}} \cdot {(v^{8})}^{\frac{1}{4}} \cdot {(w^{- 2})}^{\frac{1}{4}} \cdot {(n^{1})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(v^{3})}^{\frac{1}{2}}

Tipp 3

Nun können die doppelten Potenzen zu einfachen Potenzen vereinfacht werden:

v^{\frac{1}{6}} \cdot w^{\frac{3}{6}} \cdot n^{\frac{5}{4}} \cdot v^{\frac{8}{4}} \cdot w^{- \frac{2}{4}} \cdot n^{\frac{1}{2}} \cdot v^{\frac{3}{2}}

Tipp 4

Fassen Sie nun die Ausdrücke zusammen, indem Sie das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis verwenden:

\begin{array}{rcl} v^{\frac{1}{6} + \frac{8}{4} + \frac{3}{2}} \cdot w^{\frac{3}{6} - \frac{2}{4}} \cdot n^{\frac{5}{4} + \frac{1}{2}} \\ = & v^{\frac{2}{12} + \frac{24}{12} + \frac{18}{12}} \cdot w^{\frac{6}{12} - \frac{6}{12}} \cdot n^{\frac{5}{4} + \frac{2}{4}} \\ = & v^{\frac{44}{12}} \cdot w^{0} \cdot n^{\frac{7}{4}} \\ = & v^{\frac{11}{3}} \cdot n^{\frac{7}{4}} \end{array}

Lösung

\sqrt[3]{v^{11}} \cdot \sqrt[4]{n^{7}}

Übung 2.3.3

Vereinfachen Sie bitte folgenden Ausdruck:

Tipp 1

Schreiben Sie den Ausdruck so um, dass jede Basis nur einen Exponenten hat:

\frac{a^{\frac{x}{2}} \cdot a^{\frac{2 x}{3}} \cdot b^{2 x}}{a^{\frac{x}{6}} \cdot b^{3 x}}

Tipp 2

Nun kann die Anwendung der Gesetze für gleiche Basis erfolgen:

\begin{array}{rcl} a^{\frac{x}{2} + \frac{2 x}{3} - \frac{x}{6}} \cdot b^{2 x - 3 x} \\ = & a^{\frac{3 x}{6} + \frac{4 x}{6} - \frac{x}{6}} \cdot b^{2 x - 3 x} \\ = & a^{\frac{6 x}{6}} \cdot b^{- x} \\ = & a^{x} \cdot b^{- x} \end{array}

Lösung

{(\frac{a}{b})}^{x}

13.3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischer Lehrsatz

Übung 3.3.1

Bitte berechnen Sie den Binomialkoeffizienten

(\begin{array}{c} 90 \\ 87 \end{array})

Tipp 1

Wenden Sie die Definition des Binomialkoeffizienten an:

(\begin{array}{c} 90 \\ 87 \end{array}) = \frac{90!}{87! 3!}

Tipp 2

Nutzen Sie die Definition der Fakultät um kürzen zu können:

\frac{90!}{87! 3!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot \dots \cdot 1}{87 \cdot \dots \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

Tipp 3

Kürzen Sie soweit wie möglich. Beachten Sie dabei, dass ein Teil des Zählers im Nenner enthalten ist.

\frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot \dots \cdot 1}{87 \cdot \dots \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 30 \cdot 89 \cdot 44

Lösung

117480 .

Übung 3.3.2

Bestimmen Sie eine Formel für

{(a + b)}^{4}

mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes.

Tipp 1

Wenden Sie die Definition des binomischen Lehrsatzes an:

{(a + b)}^{4} = \sum_{k = 0}^{4} (\begin{array}{c} 4 \\ k \end{array}) a^{4 - k} b^{k}

Tipp 2

Schreiben Sie die Summanden einzeln auf:

(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) a^{4 - 0} b^{0} + (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) a^{4 - 1} b^{1} + (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) a^{4 - 2} b^{2} + (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) a^{4 - 3} b^{3} + (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) a^{4 - 4} b^{4}

Lösung

1 a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a \cdot b^{3} + 1 b^{4}

Übung 3.3.3

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck so weit wie möglich:

\frac{4 a^{2}}{2 a (2 a + b) - 2 a \cdot b - b^{2}} + (b^{2} + \frac{4 a \cdot b - 2 a^{2} b}{a - 2}) \frac{a}{b^{3} - 4 a \cdot b^{2} + 4 a^{2} b}

Tipp 1

Gestalten Sie die Nenner einfacher, indem Sie z.B. Variablen ausklammern und die Nenner als Produkte darstellen. Kürzen Sie sofern möglich:

\frac{4 a^{2}}{(2 a - b) (2 a + b)} + (b^{2} - \frac{2 a \cdot b}{1}) \frac{a}{b {(b - 2 a)}^{2}}

Tipp 2

Versuchen Sie den zweiten Summanden zu vereinfachen, indem Sie ausklammern und kürzen. Vergleichen Sie dafür, wo ähnliche Ausdrücke im zweiten Summanden enthalten sind:

\begin{array}{rcl} \frac{4 a^{2}}{(2 a - b) (2 a + b)} + b (b - 2 a) \frac{a}{b {(b - 2 a)}^{2}} \\ = & \frac{4 a^{2}}{(2 a - b) (2 a + b)} + \frac{a}{(b - 2 a)} \end{array}

Tipp 3

Machen Sie die Brüche gleichnamig. Beachten Sie dabei, dass der Nenner des zweiten Terms schon fast mit einem Teil des ersten Terms übereinstimmt:

\begin{array}{rcl} \frac{4 a^{2}}{(2 a - b) (2 a + b)} - \frac{a}{2 a - b} \\ = & \frac{4 a^{2}}{(2 a - b) (2 a + b)} - \frac{a (2 a + b)}{(2 a - b) (2 a + b)} \end{array}

Tipp 4

Führen Sie die Rechenoperationen aus und vereinfachen Sie so weit wie möglich:

\begin{array}{rcl} \frac{4 a^{2} - a (2 a + b)}{(2 a - b) (2 a + b)} \\ = & \frac{2 a^{2} - a \cdot b}{(2 a - b) (2 a + b)} \\ = & \frac{a (2 a - b)}{(2 a - b) (2 a + b)} \end{array}

Lösung

\frac{a}{2 a + b}

Übung 3.3.4

Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich:

\frac{1}{a^{2} + 2 a b + b^{2}} + \frac{1}{a^{2} - b^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{4} - a^{2} b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}

Tipp 1

Um einen geeigneten Nenner zu finden, wendet man die Gesetze für binomische Formeln an und formt die Nenner entsprechend um:

\frac{1}{{(a + b)}^{2}} + \frac{1}{(a + b) (a - b)} - \frac{b^{2}}{a^{2} (a + b) (a - b)} - \frac{1}{a^{2}}

Tipp 2

Nun können die Brüche gleichnamig gemacht werden, um die Zähler zu addieren bzw. subtrahieren.

\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} (a - b)}{{(a + b)}^{2} a^{2} (a - b)} & + & \frac{a^{2} (a + b)}{(a + b) (a - b) a^{2} (a + b)} \\ - & \frac{b^{2} (a + b)}{a^{2} (a + b) (a - b) (a + b)} - \frac{{(a + b)}^{2} (a - b)}{a^{2} {(a + b)}^{2} (a - b)} \end{array}

= \frac{a^{2} (a - b) + a^{2} (a + b) - b^{2} (a + b) - {(a + b)}^{2} (a - b)}{{(a + b)}^{2} a^{2} (a - b)}

Tipp 3

In Teilen des Zählers kann nun

(a + b)

ausgeklammert werden:

\frac{a^{2} (a - b) + (a + b) [a^{2} - b^{2} - (a + b) (a - b)]}{{(a + b)}^{2} a^{2} (a - b)}

Multiplizieren Sie im Zähler in keinem Fall aus!

Tipp 4

Die letzte Klammer des Zählers ergibt

0

, wenn man die dritte binomische Formel anwendet:

\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} (a - b) + (a + b) {\overset{}{[a^{2} - b^{2} - (a^{2} - b^{2})]}}^{= 0}}{{(a + b)}^{2} a^{2} (a - b)} \\ = & \frac{a^{2} (a - b)}{{(a + b)}^{2} a^{2} (a - b)} \end{array}

Tipp 5

Lösung

\frac{1}{{(a + b)}^{2}}

Übung 3.3.5

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

Formel

Tipp 1

Verwenden Sie Ihr erworbenes Wissen über Potenzen und Wurzeln. Der erste Ausdruck lässt sich durch Ausmultiplizieren und der zweite durch Anwenden der binomischen Formeln vereinfachen:

\begin{array}{rcl} {(1 + ({(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{2}{2}} x^{- \frac{2}{3}}))}^{- 3} - \frac{1}{a^{2}} \sqrt{a^{4} + 2 a^{2} x^{2} + x^{4}} \\ = & {(1 + (a^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}))}^{- 3} - \frac{1}{a^{2}} \sqrt{a^{4} + 2 a^{2} x^{2} + x^{4}} \end{array}

Tipp 2

Benutzen Sie für den zweiten Term die Umkehrung der binomischen Formeln und wenden Sie weiter Potenzgesetze an:

\begin{array}{rcl} {(1 + (a^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}} - x^{0}))}^{- 3} - \frac{1}{a^{2}} \sqrt{{(a^{2} + x^{2})}^{2}} \\ = & {(1 + a^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}} - 1)}^{- 3} - \frac{1}{a^{2}} (a^{2} + x^{2}) \\ = & {(a^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}})}^{- 3} - \frac{1}{a^{2}} (a^{2} + x^{2}) \end{array}

Tipp 3

Der erste Term kann weiter nur durch Potenzgesetze vereinfacht werden. Um den zweiten Term vom ersten zu subtrahieren, sollte man zuerst den zweiten Term ausmultiplizieren, falls dies noch nicht geschehen ist:

\begin{array}{rcl} (a^{- \frac{6}{3}} x^{- \frac{- 6}{3}}) - (\frac{a^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2}}) \\ = & (a^{- 2} x^{2}) - (\frac{a^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2}}) \\ = & {(\frac{x}{a})}^{2} - (1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) \end{array}

Lösung

Die Lösung lautet:

- 1 .

13.4 Polynomdivision

Übung 4.3.1

Lösen Sie folgende Übung:

(2 x^{4} - x^{2}) : (x - 5)

Tipp 1

Da die Polynome bereits sortiert sind, können Sie direkt mit der Division beginnen. Dividieren Sie

2 x^{4}

durch

x

und multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor. Achten Sie von Anfang an darauf, Potenzen mit gleichem Exponenten unter einander zu schreiben. Dies erleichtert später die Übersicht: Polynomdivision

Tipp 2

Lösung

2 x^{3} + 10 x^{2} + 49 x + 245 + \frac{1225}{x - 5}

Übung 4.3.2

Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms

x^{3} + x^{2} - 10 x + 8

Tipp 1

Ermitteln Sie eine Nullstelle. Meist ist das Absolutglied ( in diesem Fall 8 ) ein Vielfaches der Nullstellen. Eine Möglichkeit wäre die Zahl 1, da

1 \cdot 8 = 8

. Die Probe ergibt:

1^{3} + 1^{2} - 10 + 8 = 0

x_{01} = 1

ist also eine geeignete Nullstelle.

Tipp 2

Dividieren Sie nun das Polynom durch

(x - x_{01})

und fahren Sie mit der Polynomdivision fort:

(x^{3} + x^{2} - 10 x + 8) : (x - 1)

Tipp 3

Ermitteln Sie das erste Glied des Ergebnisses, indem Sie

x^{3}

durch

x

dividieren und multiplizieren Sie dieses mit dem Divisor:

\begin{array}{rcl} (x^{3} + x^{2} - 10 x + 8) : (x - 1) = x^{2} \\ - & (x^{3} - x^{2}) \end{array}

Tipp 4

Tipp 5

Berechnen Sie nun die anderen Nullstellen, indem Sie die

p-q-Formel für

x^{2} + 2 x - 8

anwenden:

\begin{array}{rcl} x_{2, 3} & = & - \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} + 8} \\ = & - 1 \pm \sqrt{9} \\ = & - 1 \pm 3 \\ x_{2} = + 2 & x_{2} = - 4 \end{array}

Lösung

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 1 \\ x_{2} & = & 2 \\ x_{3} & = & - 4 \end{array}

Übung 4.3.3

Führen Sie die folgende Division aus:

(3 x^{4} - 3 x^{2} - 54 x - 54) : (2 x - x^{2} + 3)

Tipp 1

Sortieren Sie zunächst den Divisor entsprechend der Exponenten (größte Potenz zuerst). Dividieren Sie dann

3 x^{4}

durch

- x^{2}

. Lassen Sie sich nicht davon irritieren, dass der Divisor drei Glieder hat, sondern gehen Sie wie gewohnt vor. Ermitteln Sie dann den Rest und wiederholen Sie das Verfahren so oft wie nötig. Polynomdivision

Lösung

- 3 x^{2} - 6 x - 18

Übung 4.3.4

Lösen Sie bitte folgende Polynomdivision:

(a^{2} b - 3 b^{3} + a b^{2} + a^{3}) : (a - b)

Tipp 1

Sortieren Sie nach Variable und Potenz. Dann erhalten Sie:

(a^{3} + a^{2} b + a \cdot b^{2} - 3 b^{3}) : (a - b)

Tipp 2

Teilen Sie

a^{3}

durch

a

und multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor und ermitteln Sie den Rest. Ermitteln Sie dann den Rest und gehen Sie schließlich in gewohnter Weise erneut so vor. Polynomdivision

Lösung

a^{2} + 2 a \cdot b + 3 b^{2}

13.7 Lineare Funktionen

Übung 7.3.1

Berechnen Sie die Geradengleichungen und zeichnen Sie die Funktionen.

Tipp 1

Verwenden Sie eine geeignetet Formel, die die gegebenen Angaben berücksichtigt:

y = m (x - x_{0}) + y_{0} .

Tipp 2

Setzen Sie die Angaben in die Formel ein:

y = 2 (x - 0) + 1 .

Lösung

y = 2 x + 1 .

Tipp 1

Lösung

Es handelt sich um keine Funktion, da dem

x

-Wert

0

unendlich viele (anstatt einem eindeutigen)

y

-Werte zugeordnet werden.

Tipp 1

Stellen Sie zuerst eine Funktionsgleichung auf, die die Gerade

y = x

2

verschiebt. Die Wirkung der einzelnen Parameter kann im Kapitel über die allgemeinen Funktionseigenschaften nachgelesen werden. Diese Funktion lautet:

y = (x - 2) .

Tipp 2

Der Parameter

a

in einer Funktion

y = a \cdot f (b x + c)

sorgt für eine Spiegelung an der

x

-Achse. Die gesuchte Funktion hat also die Form

y = a \cdot (x - 2) .

Tipp 3

Da angegeben ist, dass die Spiegelung ohne Stauchung bzw. Streckung erfolgen soll, kann

a

leicht bestimmt werden. Somit ist

a = - 1

Lösung

y = - 1 \cdot (x - 2) .

Übung 7.3.2

a) Bestimmen Sie die orthogonale Gerade zur Funktion $y = 4 x - 2$ , die durch den Punkt $P_{1} (0; 3)$ verläuft.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden:

\begin{array}{rcl} y_{1} & = & 4 x - 2 \\ y_{2} & = & - \frac{1}{4} x + 3 \end{array}

c) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $P_{1} (0; 3)$ und $P_{2} (\frac{20}{17}; \frac{46}{17})$ .

Tipp 1

Berechnen Sie den Anstieg der gesuchten Geraden mit Hilfe der Formel

\begin{array}{rcl} m_{1} \cdot m_{2} & = & - 1 \\ 4 \cdot m_{2} & = & - 1 \\ m_{2} & = & - \frac{1}{4} . \end{array}

Tipp 2

Verwenden Sie nun die Formel, die eine Gerade durch die Steigung und einen Punkt definiert:

y = - \frac{1}{4} (x - 0) + 3 .

Lösung

y = - \frac{1}{4} x + 3 .

Tipp 1

Setzen Sie die Funktionsgleichungen gleich:

4 x - 2 = - \frac{1}{4} x + 3 .

Tipp 2

Lösen Sie die Gleichung nach

x

auf:

\begin{array}{rcl} 4 x + \frac{1}{4} x & = & 3 + 2 \\ \frac{16}{4} x + \frac{1}{4} x & = & 5 \\ \frac{17}{4} x & = & 5 \\ x & = & \frac{20}{17} \end{array}

Tipp 3

Setzen Sie den

x

-Wert in eine Gleichung ein, um den

y

-Wert zu berechnen:

\begin{array}{rcl} y & = & 4 \cdot \frac{20}{17} - 2 \\ = & \frac{80}{17} - 2 \\ = & \frac{80}{17} - \frac{34}{17} \\ = & \frac{46}{17} . \end{array}

Lösung

Der Schnittpunkt lautet

S (\frac{20}{17}; \frac{46}{17}) .

Tipp 1

Verwenden Sie die Abstandsformel

d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} .

Tipp 2

Setzen Sie nun die nötigen Angaben in die Formel ein:

\begin{array}{rcl} d & = & \sqrt{{(\frac{20}{17} - 0)}^{2} + {(\frac{46}{17} - 3)}^{2}} \\ = & \sqrt{{(\frac{20}{17})}^{2} + {(\frac{46}{17} - \frac{51}{17})}^{2}} \\ = & \sqrt{{(\frac{20}{17})}^{2} + {(\frac{- 5}{17})}^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{400}{289} + \frac{25}{289}} \\ = & \sqrt{\frac{425}{289}} \\ = & \sqrt{\frac{25}{17}} \\ d & = & \frac{5 \cdot \sqrt{17}}{17} \end{array}

Lösung

Der Abstand zwischen den Punkten beträgt

\frac{5 \cdot \sqrt{17}}{17} .

Hinweis: Durch die Aufgaben a) bis c) haben Sie zugleich den Abstand zwischen dem Punkt $P_{1} (0; 3)$ und der Geraden $y = 4 x - 2$ berechnet.

Übung 7.3.3

Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen und stellen Sie das Problem aus Übung a) grafisch dar.

Tipp 1

Stellen Sie zunächst die Ungleichung nach

x

um:

\begin{array}{rcl} 2 x & \leq & 4 \\ x & \leq & 2 . \end{array}

Tipp 2

Lösung

L = {x | x \leq 2} .

Es wurde also untersucht, für welchen Definitionsbereich die Funktion $f (x) = 2 x - 1$ kleiner oder gleich dem $y$ -Wert 3 ist. Dieser Sachverhalt wird auch in der Grafik dargestellt:

Tipp 1

Beseitigen Sie zuerst die Brüche:

\begin{array}{rcl} \frac{4 (x + 4)}{12} - \frac{3 (x - 3)}{12} & > & \frac{6 (x + 4)}{12} \\ 4 (x + 4) - 3 (x - 3) & > & 6 (x + 4) . \end{array}

Tipp 2

Stellen Sie nun die Ungleichung nach

x

um:

\begin{array}{rcl} 4 x + 16 - 3 x + 9 & > & 6 x + 24 \\ 4 x - 3 x - 6 x & > & 24 - 16 - 9 \\ - 5 x & > & - 1 . \end{array}

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass das Multiplizieren bzw. Dividieren mit einer negativen Zahl zu einer Umkehrung des Verhältniszeichens führt. Somit ergibt sich

x < \frac{1}{5} .

Tipp 3

Lösung

L = {x | x < \frac{1}{5}} .

Tipp 1

Verwenden Sie die binomischen Formeln und fassen Sie dann die Ausdrücke zusammen:

\begin{array}{rcl} x^{2} - 6 x + 9 - (x^{2} + 4 x + 4) & < & 3 (2 - x) \\ x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} - 4 x - 4 & < & 6 - 3 x \\ - 10 x + 5 & < & 6 - 3 x . \end{array}

Tipp 2

Stellen Sie die Ungleichung nach

x

um.

\begin{array}{rcl} - 7 x & < & 1 \\ x & > & - \frac{1}{7} \end{array}

Tipp 3

Lösung

L = {x | x > - \frac{1}{7}} .

Übung 7.3.4

Berechnen Sie jeweils die Lösungsmenge folgender Ungleichungen. Bitte beachten Sie dabei, dass Fallunterscheidungen notwendig sind.

Tipp 1

Fassen Sie die Terme mit

x

auf einer Seite zusammen:

\begin{array}{rcl} - a x + 2 a x & \geq & 10 - 5 \\ a x & \geq & 5 . \end{array}

Tipp 2

Untersuchen Sie die drei möglichen Fälle

a = 0

a > 0

und

a < 0

Tipp 3

Lösung

Tipp 1

Verwenden Sie die binomischen Formeln, um zusammenzufassen:

\begin{array}{rcl} a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2} - (a^{2} x^{2} - 2 a b x + b^{2}) & \leq & 5 \\ a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x - b^{2} & \leq & 5 \\ 4 a b x & \leq & 5 \\ a b x & \leq & \frac{5}{4} . \end{array}

Tipp 2

Nehmen Sie nun die Fallunterscheidungen für

a b = 0

a b > 0

und

a b < 0

vor.

Tipp 3

Lösung

13.8 Quadratische Funktionen

Übung 8.3.1

Zeichnen Sie die folgenden Parabeln, indem Sie schrittweise die Normalparabel verschieben, stauchen oder strecken.

a)	$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$
b)	$y = \| - {(x + 1)}^{2} \| + 2$
c)	$y = x^{2} + 14 x + 52$
d)	$y = 5 x^{2} - 30 x + 2$ .

Tipp 1

Gehen Sie von einer Normalparabel aus und zeichnen Sie zuerst

{(x - 1)}^{2}

. Dabei handelt es sich um eine nach rechts verschobene Parabel.

Tipp 2

Zeichnen Sie nun

- {(x - 1)}^{2}

, indem Sie die Funktion an der

x

-Achse spiegeln.

Tipp 3

Nun wird die Funktion

- {(x - 1)}^{2}

um eine Einheit nach oben verschoben.

Lösung

Tipp 1

Zeichnen Sie die Funktion

- {(x + 1)}^{2}

schrittweise:

Tipp 2

Spiegeln Sie den Bereich der Funktion, der unterhalb der

x

-Achse liegt, an der

x

-Achse.

Tipp 3

Lösung

Tipp 1

Um die Funktion exakt zeichnen zu können, muss sie durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform gebracht werden.

In der Funktion steckt eine binomische Formel der Art $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ . Es muss nun ermittelt werden, wie groß $a$ ist:

\begin{array}{rcl} y & = & x^{2} + 14 x + 52 \\ = & x^{2} + 2 \cdot 7 x + 7^{2} + 3 . \end{array}

Tipp 2

Nachdem

a = 7

ermittelt wurde, kann das Wissen über binomische Formeln angewendet werden:

y = {(x + 7)}^{2} + 3 .

Tipp 3

Lösung

Tipp 1

Bringen Sie die Funktion durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform. Klammern Sie dazu zunächst 5 aus:

y = 5 (x^{2} - 6 x + \frac{2}{5}) .

Hinweis: Wenn Sie 5 nicht ausklammern möchten, müssen Sie berücksichtigen, dass die binomische Formel die Form $5 x^{2} - 2 \sqrt{5} a x + a^{2}$ hat. Dies macht die Lösung komplizierter.

Tipp 2

Ermitteln Sie nun in der Klammer die binomische Formel:

\begin{array}{rcl} y & = & 5 (x^{2} - 2 \cdot 3 x + 9 - \frac{43}{5}) \\ = & 5 (x^{2} - 6 x + 9) - 5 \cdot \frac{43}{5} \\ = & 5 {(x - 3)}^{2} - 43 . \end{array}

Tipp 3

Lösung

Übung 8.3.2

Berechnen Sie die Nullstellen folgender quadratischer Funktionen.

a)	$f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 5$
b)	$f (x) = (x + 5) \cdot (x - 2)$
c)	$f (x) = a x^{2} - (a^{2} m - m) x - a m^{2}$ für $a, m > 0 a, ϵ$ , $ℝ$ .

Tipp 1

Die Nullstellen sind dadurch definiert, dass der

y

-Wert Null ist. Deshalb muss die Funktion Null gesetzt werden:

5 x^{2} - 10 x + 5 = 0 .

Tipp 2

Formen Sie die Gleichung so um, dass die p-q-Formel angewendet werden kann:

x^{2} - 2 x + 1 = 0 .

Tipp 3

Wenden Sie nun die p-q-Formel an.

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - 1} \\ = & 1 \pm \sqrt{1 - 1} \\ = & 1 \pm \sqrt{0} \\ = & 1 \end{array}

Lösung

Die Funktion hat nur eine Nullstelle bei

$x_{0} = 1$ .

Tipp 1

Die Funktion ist auf ungewöhnliche Weise dargestellt, doch es ist nicht notwendig das Produkt auszumultiplizieren. Setzen Sie die Funktion stattdessen gleich Null:

(x + 5) \cdot (x - 2) = 0 .

Tipp 2

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Deswegen reicht es aus, die Faktoren einzeln Null zu setzen.

$x + 5 = 0$		$x - 2 = 0$
$x = - 5$		$x = 2$

Lösung

Die Funktion hat zwei Nullstellen in den Punkten

$P_{1} (- 5; 0)$ und $P_{2} (2; 0)$ .

Tipp 1

a

und

m

unbekannt sind, handelt es sich bei diesem Beispiel um eine Funktionsschar. Gehen Sie dennoch wie gewohnt vor, indem Sie die Funktion Null setzen:

a x^{2} - (a^{2} m - m) x - a m^{2} = 0 .

Tipp 2

Nun muss die Gleichung so umgeformt werden, dass die p-q-Formel anwendbar ist:

\begin{array}{rcl} a x^{2} - m (a^{2} - 1) x - a m^{2} & = & 0 \\ x^{2} - \frac{m (a^{2} - 1)}{a} x - m^{2} & = & 0 \end{array}

Tipp 3

Wenden Sie die p-q-Formel an und vereinfachen Sie bereits in den Zwischenschritten so weit wie möglich, um optimal zusammenfassen zu können.

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{\frac{m (a^{2} - 1)}{a}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{m (a^{2} - 1)}{a}}{2})}^{2} + m^{2}} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \sqrt{\frac{m^{2} {(a^{2} - 1)}^{2}}{{(2 a)}^{2}} + m^{2}} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \sqrt{\frac{m^{2} {(a^{2} - 1)}^{2} + 4 a^{2} m^{2}}{4 a^{2}}} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \sqrt{\frac{m^{2} (a^{4} - 2 a^{2} + 1 + 4 a^{2})}{4 a^{2}}} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \sqrt{\frac{m^{2} (a^{4} + 2 a^{2} + 1)}{4 a^{2}}} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \sqrt{\frac{m^{2} {(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a^{2}}} \end{array}

Tipp 4

Da wegen der quadratischen Ausdrücke gesichert ist, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist, kann nun die Wurzel gezogen werden.

x_{1, 2} = \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} \pm \frac{m (a^{2} + 1)}{2 a}

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} + \frac{m (a^{2} + 1)}{2 a} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1) + m (a^{2} + 1)}{2 a} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1 + a^{2} + 1)}{2 a} \\ = & \frac{m \cdot 2 a^{2}}{2 a} \\ = & m \cdot a \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{m (a^{2} - 1)}{2 a} - \frac{m (a^{2} + 1)}{2 a} \\ = & \frac{m (a^{2} - 1 - a^{2} - 1)}{2 a} \\ = & \frac{m \cdot (- 2)}{2 a} \\ = & - \frac{m}{a} \end{array}

Lösung

Die Funktionsschar besitzt Nullstellen in den Punkten

$P_{1} (m a; 0)$ und $P_{2} (- \frac{m}{a}; 0)$ .

Übung 8.3.3

Gegeben sei die Parabel

y = 4 x^{2} + 10 x - 3 .

Berechnen Sie die Schnittpunkte mit

a)	der Geraden	$y = 5 x + 2$
b)	der Parabel	$y = x^{2} + x + 3$
c)	der Parabel	$y = 3 x^{2} + (10 - 2 a) x - 2 + 2 a$

Tipp 1

Setzen Sie beide Funktionen gleich, da ein Schnittpunkt den gleichen

y

-Wert in beiden Funktionen annimmt.

4 x^{2} + 10 x - 3 = 5 x + 2

Tipp 2

Formen Sie die Gleichung um, so dass die

p - q

-Formel angewendet werden kann:

\begin{array}{rcl} 4 x^{2} + 10 x - 5 x - 3 - 2 & = & 0 \\ 4 x^{2} + 5 x - 5 & = & 0 \\ x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} & = & 0 \end{array}

Tipp 3

Mit Hilfe der

p - q

-Formel können die

x

-Werte der Schnittpunkte (also die Schnittstellen) ermittelt werden:

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{- \frac{5}{4}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- \frac{5}{4}}{2})}^{2} + \frac{5}{4}} \\ = & - \frac{5}{8} \pm \sqrt{{(\frac{5}{8})}^{2} + \frac{5}{4}} \\ = & - \frac{5}{8} \pm \sqrt{\frac{25}{64} + \frac{80}{64}} \\ = & - \frac{5}{8} \pm \sqrt{\frac{105}{64}} \\ = & - \frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{105}}{8} \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{105}}{8} = \frac{- 5 + \sqrt{105}}{8} \approx 0, 66 \\ x_{2} & = & - \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{105}}{8} = \frac{- 5 - \sqrt{105}}{8} \approx - 1, 91 \end{array}

Tipp 4

Nun müssen noch die

y

-Werte der Punkte ermittelt werden, indem man die

x

-Werte in eine der Funktionen einsetzt. Es bietet sich an, dazu die Geradengleichung zu verwenden.

\begin{array}{rcl} f (\frac{- 5 + \sqrt{105}}{8}) & = & 5 \cdot (\frac{- 5 + \sqrt{105}}{8}) + 2 \\ = & \frac{- 25 + 5 \sqrt{105}}{8} + \frac{16}{8} \\ = & \frac{- 9 + 5 \sqrt{105}}{8} \\ \approx & 5, 28 \end{array}

\begin{array}{rcl} f (\frac{- 5 - \sqrt{105}}{8}) & = & 5 \cdot (\frac{- 5 - \sqrt{105}}{8}) + 2 \\ = & \frac{- 25 - 5 \sqrt{105}}{8} + \frac{16}{8} \\ = & \frac{- 9 - 5 \sqrt{105}}{8} \\ \approx & - 7, 53 \end{array}

Lösung

Die Funktionen schneiden sich näherungsweise in den Punkten

$P_{1} (0, 66; 5, 28)$ und $P_{2} (- 1, 91; - 7, 53)$ .

Tipp 1

Setzen Sie die Funktionen gleich:

4 x^{2} + 10 x - 3 = x^{2} + x + 3 .

Tipp 2

Formen Sie die Gleichungen um und wenden Sie die

p - q

-Formel an.

\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - x^{2} + 10 x - x - 3 - 3 & = & 0 \\ 3 x^{2} + 9 x - 6 & = & 0 \\ x^{2} + 3 x - 2 & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + 2} \\ = & - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{8}{4}} \\ = & - \frac{3}{2} \pm \sqrt{17} 4 \\ = & - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2} \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0, 56 \\ x_{2} & = & \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2} \approx - 3, 56 \end{array}

Tipp 3

Es müssen noch die

y

-Werte der Schnittpunkte berechnet werden. Setzen Sie dazu die

x

-Werte in eine der Funktionen ein.

\begin{array}{rcl} f (\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}) & = & {(\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2})}^{2} + (\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}) + 3 \\ = & \frac{{(- 3 + \sqrt{17})}^{2}}{4} + \frac{- 6 + 2 \sqrt{17}}{4} + \frac{12}{4} \\ = & \frac{9 - 6 \sqrt{17} + 17}{4} + \frac{- 6 + 2 \sqrt{17}}{4} + \frac{12}{4} \\ = & \frac{9 + 17 - 6 + 12 - 6 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17}}{4} \\ = & \frac{32 - 4 \sqrt{17}}{4} \\ \approx & 3, 88 \end{array}

\begin{array}{rcl} f (\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}) & = & {(\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2})}^{2} + (\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}) + 3 \\ = & \frac{{(- 3 - \sqrt{17})}^{2}}{4} + \frac{- 6 - 2 \sqrt{17}}{4} + \frac{12}{4} \\ = & \frac{9 + 6 \sqrt{17} + 17}{4} + \frac{- 6 - 2 \sqrt{17}}{4} + \frac{12}{4} \\ = & \frac{9 + 17 - 6 + 12 + 6 \sqrt{17} - 2 \sqrt{17}}{4} \\ = & \frac{32 + 4 \sqrt{17}}{4} \\ \approx & 12, 12 \end{array}

Lösung

Die Parabeln schneiden sich näherungsweise in den Punkten

$P_{1} (0, 56; 3, 88)$ und $P_{2} (- 3, 56; 12, 12)$ .

Tipp 1

Gehen Sie trotz des Parameters

a

wie gewohnt vor, indem Sie die Funktionsvorschriften gleich setzen:

4 x^{2} + 10 x - 3 = 3 x^{2} + (10 - 2 a) x - 2 + 2 a .

Tipp 2

Formen Sie die Gleichung um und wenden Sie die

p - q

-Formel an.

\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 3 x^{2} + 10 x - 10 x + 2 a x - 3 + 2 - 2 a & = & 0 \\ x^{2} + 2 a x - 1 - 2 a & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{2 a}{2} \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1} \\ = & - a \pm \sqrt{{(a + 1)}^{2}} \end{array}

Achtung: Es muss gesichert sein, dass der Term unter der Wurzel positiv ist. Dies ist wegen des quadratischen Ausdrucks in diesem Fall gesichert.

x_{1, 2} = - a \pm (a + 1)

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - a + (a + 1) \\ = & - a + a + 1 \\ = & 1 \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & - a - (a + 1) \\ = & - a - a - 1 \\ = & - 2 a - 1 \end{array}

Tipp 3

Nun müssen die

y

-Werte ermittelt werden.

\begin{array}{rcl} f (1) & = & 4 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 - 3 \\ = & 11 \end{array}

\begin{array}{rcl} f (- 2 a - 1) & = & 4 {(- 2 a - 1)}^{2} + 10 (- 2 a - 1) - 3 \\ = & 4 (4 a^{2} + 4 a + 1) - 20 a - 10 - 3 \\ = & 16 a^{2} + 16 a + 4 - 20 a - 10 - 3 \\ = & 16 a^{2} - 4 a - 9 \end{array}

Lösung

Die Parabel schneidet die Parabelschar in den Punkten

$P_{1} (1; 11)$ und $P_{2} (- 2 a - 1; 16 a^{2} - 4 a - 9)$ .

Übung 8.3.4

Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Ungleichungen

a)	$x^{2} + 3 x - 2 < - 2 x^{2} - 3 x + 7$
	indem Sie die Funktion nach der Nullstellenermittlung zeichnen.

b)	$x \cdot (\frac{x + 2}{5}) - \frac{x + 3}{15} > \frac{x + 5}{3}$
	durch Einsetzen eines Probewertes nach Ermittlung der Nullstellen.

c)	$(2 x + 8) (2 x - 8) < 4 x$
	durch ein selbstgewähltes Verfahren.

Tipp 1

Stellen Sie die Ungleichung so um, dass die

p - q

-Formel anwendbar ist.

\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x^{2} + 3 x + 3 x - 2 - 7 & < & 0 \\ 3 x^{2} + 6 x - 9 & < & 0 \\ x^{2} + 2 x - 3 & < & 0 \end{array}

Tipp 2

Wenden Sie die

p - q

-Formel nun an, um die Nullstellen der Funktion

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

zu ermitteln.

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} + 3} \\ = & - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ = & - 1 \pm \sqrt{4} \\ = & - 1 \pm 2 \\ x_{1} = 1 & x_{2} = - 3 \end{array}

Tipp 3

Nehmen Sie eine quadratische Ergänzung vor, um die Funktion besser zeichnen zu können.

\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} + 2 x - 3 \\ = & x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2} - 4 \\ = & {(x + 1)}^{2} - 4 \end{array}

Tipp 4

Lösung

$L = (- 3; 1)$

$L = {x | - 3 < x < 1}$

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass die Nullstellen nicht Teil der Lösungsmenge sind.

Tipp 1

Beseitigen Sie zuerst die Brüche:

\begin{array}{rcl} \frac{3 x (x + 2)}{15} - \frac{x + 3}{15} & > & \frac{5 x + 25}{15} \\ 3 x (x + 2) - x - 3 & > & 5 x + 25 . \end{array}

Tipp 2

Stellen Sie die Ungleichung so um, dass Sie die Nullstellen berechnen können.

\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 6 x - x - 3 & > & 5 x + 25 \\ 3 x^{2} + 6 x - x - 5 x - 3 - 25 & > & 0 \\ 3 x^{2} - 28 & > & 0 \\ x^{2} - \frac{28}{3} & > & 0 \end{array}

Tipp 3

Nun können die Nullstellen ermittelt werden.

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} + \frac{28}{3}} \\ = & 0 \pm \sqrt{\frac{28}{3}} \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \sqrt{\frac{28}{3}} \approx 3, 06 \\ x_{2} & = & - \sqrt{\frac{28}{3}} \approx - 3, 06 \end{array}

Tipp 4

Setzen Sie nun z.B. einen Wert zwischen

- 3, 06

und

3, 06

ein um zu ermitteln, ob die Funktion

x^{2} = - \frac{28}{3}

zwischen oder außerhalb der Nullstellen größer Null ist. Wir wählen den Testwert 0:

f (0) = 0^{2} - \frac{28}{3} = - \frac{28}{3} .

Die Funktion ist also außerhalb der Nullstellen größer Null.

Lösung

L = {x | x < - \sqrt{\frac{28}{3}} \lor x > \sqrt{\frac{28}{3}}}

bzw.

L = (- \infty, - \sqrt{\frac{28}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{28}{3}}, + \infty)

Tipp 1

Stellen Sie die Ungleichung um, sodass Sie leicht die Nullstellen ermitteln können. Prüfen Sie genau, wie Sie dies möglichst leicht erreichen können.

\begin{array}{rcl} (2 x + 8) \cdot (2 x - 8) & = & {(2 x)}^{2} - 8^{2} \\ 4 x^{2} - 64 & < & 4 x \\ 4 x^{2} - 64 - 4 x & < & 0 \\ x^{2} - x - 16 & < & 0 \end{array}

Hinweis: Anstatt auszumultiplizieren kann leicht eine binomische Formel angewendet werden. Dadurch kann während der Berechnung Zeit gespart werden, was auch in Klausuren von großem Vorteil sein kann. Sollten Sie mit den binomischen Formeln noch Probleme haben, können Sie diese im entsprechenden Kapitel erneut üben.

Tipp 2

Ermitteln Sie nun die Nullstellen.

\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 16} \\ = & 0, 5 \pm \sqrt{0, 25 + 16} \\ = & 0, 5 \pm \sqrt{16, 25} \end{array}

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 0, 5 + \sqrt{16, 25} \approx 4, 53 \\ x_{2} & = & 0, 5 - \sqrt{16, 25} \approx - 3, 53 \end{array}

Tipp 3

Ermitteln Sie, ob die Funktion

f (x) = x^{2} - x - 16

zwischen oder außerhalb der Nullstellen negativ ist. Sie können diese Untersuchung mit einem der beiden Verfahren aus den Teilaufgaben a) und b) durchführen. Zum Beispiel können Sie den Testwert 0 einsetzen:

f (0) = 0^{2} - 0 - 16 = - 16 .

Die Funktion ist also zwischen den Nullstellen negativ.

Lösung

L = {x | - 3, 53 < x < 4, 53} .

13.9 Potenz- und Wurzelfunktionen, Wurzelgleichungen

Übung 9.3.1

Lösen Sie die Gleichung

\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{2 x + 1} .

Tipp 1

Als erstes empfiehlt es sich, den Definitionsbereich zu bestimmen. Dabei muss gelten

Somit lautet der Definitionsbereich

x \in [1; + \infty) .

Tipp 2

Nun sollte man die Gleichung auf beiden Seiten quadrieren. Dabei ist besonders zu beachten, dass auf der linken Seite eine binomische Formel entsteht.

{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}^{2} = {\sqrt{2 x + 1}}^{2}

{\sqrt{(x - 1)}}^{2} + 2 \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1} + {(\sqrt{x + 1})}^{2} = 2 x + 1

x - 1 + 2 \sqrt{x^{2} - 1} + x + 1 = 2 x + 1

Tipp 3

Nun ist die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite die Wurzel steht und auf der anderen die restlichen Terme:

\sqrt{x^{2} - 1} = 0, 5 .

Tipp: Nun lässt sich die Gleichung noch einmal auf beiden Seiten quadrieren:

x^{2} - 1 = 0, 25 .

Lösung

ausschließlich

x = \frac{\sqrt{5}}{2},

da die andere denkbare Lösung $x = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ entfällt. Diese ist kein Teil des Definitionsbereiches.

Übung 9.3.2

Lösen Sie die Gleichung

5 \sqrt{3 x + 4} - 3 \sqrt{2 x - 5} = 4 \sqrt{3 x - 5} .

Tipp 1

Bestimmen Sie zunächst den Definitionsbereich für $x$ :

Damit lautet der Definitionsbereich

x \in [\frac{5}{2}; + \infty) .

Tipp 2

Anschließend sollten Sie die Gleichung wieder auf beiden Seiten quadrieren. Wiederum ergibt sich auf der linken Seite eine binomische Formel.

75 x + 100 - 30 \sqrt{3 x + 4} \sqrt{2 x - 5} + 18 x - 45 = 48 x - 80

Tipp 3

Nun können Sie die Gleichung so umformen, dass die Wurzel auf einer Seite steht und der Rest auf der anderen:

- 30 \sqrt{6 x^{2} - 7 x - 20} = - 45 x - 135

Tipp 4

Zur Vereinfachung wird die Gleichung durch −15 geteilt:

2 \sqrt{6 x^{2} - 7 x - 20} = 3 x + 9

Tipp 5

Lösung

Die Lösung lautet:

x = 7 .

Die Lösung $x = - \frac{23}{15}$ entfällt auf Grund der Unvereinbarkeit mit dem Definitionsbereich.

Übung 9.3.3

Lösen Sie die Gleichung

\sqrt{x + 5 a^{2}} = 4 a - \sqrt{x - 3 a^{2}} .

Tipp 1

Bestimmen Sie zunächst wie gewohnt den Definitionsbereich für

x

x + 5 a^{2} \geq 0

und

x - 3 a^{2} \geq 0

Damit gilt für den Definitionsbereich

x \in [3 a^{2}, + \infty) .

Tipp 2

Nun kann die Gleichung auf beiden Seiten quadriert werden. Dabei ist auf die rechte Seite zu achten, da dort eine binomische Formel auftritt.

x + 5 a^{2} = 16 a^{2} - 8 a \sqrt{x - 3 a^{2}} + x - 3 a^{2}

Tipp 3

Analog zu den vorherigen Übungen wird die Gleichung nun so umgeformt, dass die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert ist:

a = \sqrt{x - 3 a^{2}} .

Tipp 4

Anschließend wird der Ausdruck noch einmal quadriert und die Formel nach

x

umgestellt:

a^{2} = x - 3 a^{2} .

Lösung

x = 4 a^{2} .

Übung 9.3.4

Lösen Sie die Gleichung

\sqrt{x - 4 a b} + \sqrt{9 x + 4 a b} = 4 \sqrt{x - a b},

a b > 0

Tipp 1

Bestimmen Sie zunächst den Definitionsbereich für $x$ :

Der Definitionsbereich lautet somit

x \in [4 a b; + \infty) .

Tipp 2

Die Gleichung wird nun auf beiden Seiten quadriert. Dabei ist wiederum das Auftreten einer binomischen Formel auf der linken Seite der Gleichung zu beachten.

x - 4 a b + 2 \sqrt{x - 4 a b} \sqrt{9 x + 4 a b} + 9 x + 4 a b = 16 x - 16 a b

Tipp 3

In gewohnter Vorgehensweise wird die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert:

\sqrt{9 x^{2} - 32 a b x - 16 a^{2} b^{2}} = 3 x - 8 a b .

Tipp 4

Jetzt müssen Sie die Gleichung nur noch ein weiteres Mal quadrieren und schließlich nach

x

auflösen.

Lösung

x = 5 a b .

13.10 Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

Übung 10.3.1

Lösen Sie die Gleichung

2^{2 x + 3} + 3 \cdot 2^{2 x} = 22 .

Tipp 1

Wenden Sie die Potenzgesetze an und formen Sie die Gleichung entsprechend um:

2^{2 x} (2^{3} + 3) = 22 .

Tipp 2

Vereinfachen Sie nun die Gleichung:

2^{2 x} = 2 .

Tipp 3

Bei gleicher Basis müssen die Exponenten gleich sein, also muss gelten:

2 x = 1 .

Lösung

x = \frac{1}{2} .

Übung 10.3.2

Lösen Sie die Gleichung:

\sqrt{a^{3 x - 7}} = \sqrt[3]{a^{4 x - 3}} .

Tipp 1

Wenden Sie zunächst wieder die Potenzgesetze an:

a^{\frac{3 x - 7}{2}} = a^{\frac{4 x - 3}{3}} .

Tipp 2

Bei gleicher Basis müssen auch die Exponenten gleich sein:

\frac{3 x - 7}{2} = \frac{4 x - 3}{3}

Nun muss die Gleichung nur noch nach $x$ umgestellt werden.

Lösung

x = 15 .

Übung 10.3.3

Lösen Sie die Gleichung

4^{x + 3} - 13 \cdot 4^{x + 1} = 2^{3 x - 1} - 2^{3 x - 3} .

Tipp 1

Wenden Sie zunächst das entsprechende Potenzgesetz an und formen Sie die Gleichung um:

4^{x} (4^{3} - 13 \cdot 4) = 2^{3 x} (2^{- 1} - 2^{- 3}) .

Tipp 2

Vereinfachen Sie anschließend den Term:

32 \cdot 4^{x} = 2^{3 x} .

Tipp 3

An dieser Stelle können Sie die Gleichung entweder zur Basis 2 logarithmieren oder weiter vereinfachen. (

32 = 2^{5}

und

4 = 2^{2}

)

\begin{array}{rcl} a) & x lb 4 + lb 32 = 3 x lb 2 \\ b) & 2^{5 + 2 x} = 2^{3 x} . \end{array}

Lösung

x = 5 .

Übung 10.3.4

Lösen Sie die Gleichung

32^{\frac{2 x + 1}{x + 2}} = 4^{\frac{6 x - 1}{4 x - 1}} .

Tipp 1

Da die Basis auf beiden Seiten der Gleichung verschieden ist, sollten Sie zuerst zur Basis 2 logarithmieren:

\frac{2 x + 1}{x + 2} \lg 32 = \frac{6 x - 1}{4 x - 1} \lg 4 .

Tipp 2

Die Gleichung sollten Sie nun so umformen, dass die Ausdrücke aus dem Nenner verschwinden:

(2 x + 1) (4 x - 1) = \frac{2}{5} (x + 2) (6 x - 1)

Nun können sie die Gleichung leicht umformen und zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen:

\frac{28}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x - \frac{1}{5} = 0

Die enstandene Gleichung können Sie nun in gewohnter Weise lösen. Abschließend sollten Sie die Probe nicht vergessen

Die Lösung lautet

x_{1} = \frac{1}{2}

x_{2} = - \frac{1}{14}

Tipp 3

Nun können Sie die Gleichung leicht umformen und vereinfachen:

5, 6 x^{2} - 2, 4 x - 0, 2 = 0

Die entstandene quadratische Gleichung können Sie nun in gewohnter Weise lösen. Abschließend sollten Sie die Probe nicht vergessen.

Lösung

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 0, 5 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{14} . \end{array}

Übung 10.3.5

Lösen Sie die Gleichung

\lg (2 x + 3) = \lg (x + 1) + 1 .

Tipp 1

Der Defionitionsbereich der Gleichung ist

𝔻 = (- 1, \infty)

.
Stellen Sie die Gleichung so um, dass alle logarithmischen Ausdrücke auf einer Seite stehen:

\lg (2 x + 3) - \lg (x + 1) = 1 .

Tipp 2

Wenden Sie nun das betreffende Logarithmengesetz an, um die beiden Ausdrücke zusammenzufassen:

\lg (\frac{2 x + 3}{x + 1}) = 1 .

Tipp 3

Da es sich um einen dekadischen Logarithmus handelt, folgt

\frac{2 x + 3}{x + 1} = 10^{1} = 10 .

Tipp 4

Nun müssen Sie die Gleichung nur noch nach

x

auflösen.

Lösung

Dieser Wert liegt im Definitionsbereich und erfüllt die Ausgangsgleichung.

x = - \frac{7}{8} .

Übung 10.3.6

Lösen Sie die Gleichung

\log_{x} \sqrt{2} + \log_{x} 4 = \frac{1}{2} .

Tipp 1

Fassen Sie zunächst die beiden Logarithmus-Ausdrücke zusammen:

\log_{x} (4 \sqrt{2}) = \frac{1}{2} .

Tipp 2

Lösen Sie nun den Logarithmus auf:

4 \sqrt{2} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} .

Tipp 3

Lösung

x = 32 .

Übung 10.3.7

Lösen Sie folgende Gleichung nach

x

auf:

\frac{1}{2} \lg (2 x - 1) + \lg \sqrt{x - 9} = 1 .

Tipp 1

Der Definitionsbereich der Gleichung ist

D = (9, \infty)

.
Formen Sie die Gleichung zuerst mit den passenden Logarithmengesetzen um und versuchen Sie dabei eine Vereinfachung herbeizuführen:

\frac{1}{2} \lg ((2 x - 1) (x - 9)) = 1 .

Tipp 2

Lösen Sie nun den Logarithmus auf:

2 x^{2} - 19 x + 9 = 10^{2} .

Tipp 3

Die somit entstandene Gleichung lässt sich nun leicht mit Hilfe der

p

q

-Formel auflösen.

Lösung

x_{1} = 13

und

x_{2} = - \frac{7}{2}

x_{1}

gehört zum Definitionsbereich und erfüllt die Ausgangsgleichung.

x_{2}

liegt nicht im Definitionsbereich und ist eine Scheinlösung.

Übung 10.3.8

Lösen Sie die Gleichung nach

x

auf:

3 \cdot \sqrt{\lg (x)} - \lg (x) = 2 .

Tipp 1

Formen Sie die Gleichung zunächst um:

3 (\lg (x))^{\frac{1}{2}} - \lg (x) = 2 .

Tipp 2

In dieser Situation bietet sich eine Substitution der Form

z = \lg (x)

an:

3 \cdot \sqrt{z} - z = 2 .

Tipp 3

Stellen Sie die Gleichung nun so um, dass der Wurzelausdruck auf einer Seite isoliert ist:

3 \cdot \sqrt{z} = 2 + z .

Tipp 4

Nun können Sie die Gleichung quadrieren und erhalten

\begin{array}{rcl} 9 z & = & z^{2} + 4 z + 4 \\ z_{1} = 4 & z_{2} = 1 . \end{array}

Tipp 5

Schließlich müssen Sie die Ausdrücke resubstituieren und erhalten

4 = \lg (x)

und

1 = \lg (x)

Lösung

x_{1} = 10000

und

x_{2} = 10

13.11 Trigonometrische Funktionen

Übung 11.3.1

Lösen Sie folgende Gleichung:

\tan x + \sin x = 0,

x \in [0; 2 π] .

Tipp 1

Ersetzen Sie zunächst

\tan x

durch

\frac{\sin x}{\cos x}

\frac{\sin x}{\cos x} + \sin x = 0 .

Tipp 2

Klammern Sie nun

\sin x

aus:

\sin x (\frac{1}{\cos x} + 1) = 0 .

Tipp 3

Bei einem Produkt, das gleich

0

ist, muss einer der Faktoren ebenfalls

0

sein:

\sin x = 0

oder

\frac{1}{\cos x} + 1 = 0 .

Tipp 4

Nun können Sie beide Gleichungen separat lösen:

\sin x = 0

\lor

\cos x = - 1 .

Lösung

x_{1} = 0,

x_{2} = π,

x_{3} = 2 π

Übung 11.3.2

Lösen Sie die Gleichung

\cos^{2} x - 2 \sin x + 2 = 0,

x \in [0; 2 π]

Tipp 1

Wenden Sie den trigonometrischen Satz des Pythagoras an:

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

(1 - \sin^{2} x) - 2 \sin x + 2 = 0 .

Tipp 2

Nun können Sie die Gleichung vereinfachen und

\sin x = u

substituieren:

- u^{2} - 2 u + 3 = 0 .

Tipp 3

Lösen Sie anschließend die quadratische Gleichung und resubstituieren Sie die trigonometrische Funktion.

\sin x = - 3

und

\sin x = 1

Der Ausdruck $\sin x = - 3$ ist nicht lösbar, da der Wertebereich der Sinusfunktion $[- 1, 1]$ ist.

Lösung

x = \frac{π}{2} .

Übung 11.3.3

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

\sin^{4} x + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x) + \cos^{4} x .

Tipp 1

Nutzen Sie die Formel

\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x

. Für

\sin^{2} (2 x)

gilt dann:

\sin^{2} (2 x) = {(2 \sin x \cos x)}^{2} .

Es folgt für die Ausgangsgleichung somit

\begin{array}{rcl} \sin^{4} x + \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x \\ = & \sin^{4} x + 2 \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x . \end{array}

Tipp 2

Wenden Sie nun die erste binomische Formel an:

\begin{array}{rcl} \sin^{4} x + 2 \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x \\ = & {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} . \end{array}

Tipp 3

Jetzt können Sie den trigonometrischen Pythagoras nutzen:

\begin{array}{rcl} {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} & = & {(1)}^{2} . \end{array}

Lösung

1 .

Übung 11.3.4

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

\sin^{4} x - \cos^{4} x .

Tipp 1

Mit Hilfe des trigonometrischen Satzes des Pythagoras erhalten Sie

{(1 - \cos^{2} x)}^{2} - \cos^{4} x .

Tipp 2

Nun können Sie die zweite binomische Formel anwenden:

1 - 2 \cos^{2} x + \cos^{4} x - \cos^{4} x .

Tipp 3

Nun wenden Sie nochmals den trigonometrischen Satz des Pythagoras an:

\sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \cos^{2} x .

Tipp 4

Nun können Sie noch

- 1

ausklammern und das Additionstheorem für

\cos (2 x)

anwenden:

- (- \sin^{2} x + \cos^{2} x) .

Lösung

- \cos (2 x) .

13.12 Funktionen in Polarkoordinaten

Übung 12.3.1

a)	Welche Polarkoordinaten besitzen die Punkte $A (3; 2)$ , $B (- 7; - 9)$ ?
b)	Wie lauten die kartesischen Koordinaten der Punkte $C (5; 30^{\circ})$ , $D (2, 5; 270^{\circ})$

Tipp 1

Nutzen Sie die gegebenen Formeln für die Umrechnung und setzen Sie die Werte ein:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\tan φ = \frac{y}{x}

Lösung

Der Winkel

φ_{A}

liegt im 1. Quadranten, der Winkel

φ_{B}

befindet sich im 4. Quadranten.

Lösung

Die Werte für

r

und

φ

müssen nur in die entsprechenden Formeln eingesetzt werden:

\begin{array}{rcl} x & = & r \cdot \cos φ \\ y & = & r \cdot \sin φ \end{array}

Die Lösung ist demnach

Übung 12.3.2

Wie lautet die folgende Kurvengleichung in Polarkoordinaten?

K (x; y) : {(x^{2} + y^{2})}^{2} - (x^{2} - y^{2}) = 0 .

Tipp 1

Zur Umrechnung einer Kurvengleichung werden die folgenden Formeln verwendet:

\begin{array}{rcl} x & = & r \cdot \cos φ \\ y & = & r \cdot \sin φ . \end{array}

Diese können Sie in die gegebene Kurvengleichung einsetzen:

{(r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ)}^{2} - (r^{2} \cos^{2} φ - r^{2} \sin^{2} φ) .

Tipp 2

Klammern Sie nun

r

aus beiden Ausdrücken aus:

\begin{array}{rcl} {(r^{2} (\cos^{2} φ + \sin^{2} φ))}^{2} - r^{2} (\cos^{2} φ - \sin^{2} φ) & = & 0 \\ r^{4} {(\cos^{2} φ + \sin^{2} φ)}^{2} - r^{2} (\cos^{2} φ - \sin^{2} φ) & = & 0 . \end{array}

Tipp 3

Beachten Sie, dass

\sin^{2} φ + \cos^{2} φ = 1

und

\cos^{2} φ - \sin^{2} φ = \cos 2 φ

ist, dann erhalten Sie folgende Vereinfachung:

r^{4} - r^{2} \cos 2 φ = 0 .

Tipp 4

Teilen Sie die ganze Gleichung durch

r^{2}

und stellen Sie diese dann nach

r

um.

Lösung

K : r = \sqrt{\cos 2 φ} .

Übung 12.3.3

Wie lautet die folgende Kurvengleichung in kartesischen Koordination?

K : r = \frac{a}{b \cos φ + c \sin φ}

Tipp 1

Die Formeln

\begin{array}{rcl} x & = & r \cdot \cos φ \\ y & = & r \cdot \sin φ \end{array}

können Sie nach $\cos φ$ und $\sin φ$ umstellen. Beachtet man noch, dass $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ist, dann erhalten Sie

\begin{array}{rcl} \cos φ & = & \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \sin φ & = & \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} . \end{array}

Nun können Sie diese Ausdrücke in die ursprüngliche Formel einsetzen:

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{a}{b \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + c \cdot \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}} .

Tipp 2

Nun können Sie die beiden Terme im Nenner zusammenfassen:

\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + y^{2}} & = & \frac{a}{\frac{b x + c y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}} \\ = & \frac{a \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{b x + c y} . \end{array}

Tipp 3

Nun können Sie die Gleichung auf beiden Seiten mit

b x + c y

multiplizieren. Anschließend können Sie die Gleichung durch

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

teilen und alles auf eine Seite der Gleichung bringen.

Lösung

K (x, y) : b x + c y - a = 0 .

Übung 12.3.4

Wie lautet die Kurvengleichung in kartesischen Koordinaten?

K : r^{2} = 2 e^{2} \cos 2 φ

Tipp 1

Es gilt:

\begin{array}{rcl} \cos 2 φ & = & \cos^{2} φ - \sin^{2} φ \\ r^{2} & = & 2 e^{2} (\cos^{2} φ - \sin^{2} φ) . \end{array}

Tipp 2

Aus den Formeln

x = r \cos φ

y = r \sin φ

und

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

können Sie

\cos φ

und

\sin φ

herleiten. Diesen Schritt haben Sie bereits in Übung 12.3.3 geübt. Nun setzen Sie die Ausdrücke in die gegebene Gleichung ein:

\begin{array}{rcl} {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} & = & 2 e^{2} (\frac{x^{2}}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}) \\ x^{2} + y^{2} & = & 2 e^{2} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} . \end{array}

Tipp 3

Die Gleichung können Sie jetzt mit

x^{2} + y^{2}

multiplizieren und anschließend alle Terme auf eine Seite bringen.

Lösung

K (x, y) : {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 e^{2} (x^{2} - y^{2}) = 0 .

letztes Kapitel: Funktionen in Polarkoordinaten

nächstes Kapitel: Hinweise und Lösungen zu den Tests

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